Korisni savjeti

Presjek linija

Pin
Send
Share
Send
Send


wikiKako djeluje na principu wikija, što znači da mnoge naše članke piše nekoliko autora. Prilikom stvaranja ovog članka, 13 ljudi (a) je radilo na njegovom uređivanju i poboljšanju, uključujući anonimno.

Broj izvora korištenih u ovom članku: 6. Popis njih naći ćete na dnu stranice.

U dvodimenzionalnom prostoru dvije se linije presijecaju u samo jednoj točki definiranoj koordinatama (x, y). Budući da obje linije prolaze kroz točku njihovog sjecišta, koordinate (x, y) moraju zadovoljiti obje jednačine koje opisuju ove pravce. Koristeći neke dodatne vještine, možete pronaći točke sjecišta parabola i drugih kvadratnih krivulja.

Točka sjecišta dviju linija na ravnini

Ako sustav jednadžbi:

  • ima jedino rješenjetada linije se presijecaju,
  • ima beskrajna rješenjatada linije se podudaraju,
  • nema odluketada ravne linije se ne presijecaju (linije paralelne jedna s drugom)

rješenje: Za izračunavanje koordinata točke sjecišta linija rješavamo sustav jednadžbi:

y = 2 x - 1 y = -3 x + 1

Oduzmite drugu od prve jednadžbe

y - y = 2 x - 1 - (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x - 2 y = -3 x + 1

Iz prve jednadžbe nalazimo vrijednost x

5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0,4 y = -3 x + 1

Supstituirajte vrijednost x u drugoj jednadžbi i pronađite vrijednost y

x = 0,4 y = -3 · (0,4) + 1 = -1,2 + 1 = -0,2

Odgovor. Točka sjecišta dviju linija ima koordinate (0,4, -0,2)

rješenje: Za izračunavanje koordinata točke sjecišta linija rješavamo sustav jednadžbi:

y = 2 x - 1 x = 2 t + 1 y = t

U prvoj jednadžbi zamjenjujemo vrijednosti x i y iz druge i treće jednadžbe.

t = 2 · (2 ​​t + 1) - 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = - 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Zamijenite vrijednost t u drugoj i trećoj jednadžbi

t = - 1 3 x = 2 · (- 1 3) + 1 = - 2 3 + 1 = 1 3 y = - 1 3

Odgovor. Točka sjecišta dviju linija ima koordinate (1 3, - 1 3)

rješenje: Za izračunavanje koordinata točke sjecišta linija rješavamo sustav jednadžbi:

2 x + 3 y = 0 x - 2 3 = y 4

Iz druge jednadžbe izražavamo y u smislu x

2 x + 3 y = 0 y = 4 x - 2 3

Supstituirajte y u prvoj jednadžbi

2 x + 3 · 4 · x - 2 3 = 0 y = 4 · x - 2 3 => 2 x + 4 · (x - 2) = 0 y = 4 · x - 2 3 =>

2 x + 4 x - 8 = 0 y = 4 · x - 2 3 => 6 x = 8 y = 4 · x - 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4 · x - 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4 · 4/3 - 2 3 = 4 · -2/3 3 = - 8 9

Odgovor. Točka sjecišta dviju linija ima koordinate (4 3, - 8 9)

rješenje: Oba pravca su dana jednadžbama s kutnim koeficijentom. Budući da k 1 = k 2 = 2, tada su linije paralelne. Budući da se ove linije ne podudaraju, ne postoje točke sjecišta.

Ovaj problem ćemo također riješiti pomoću jednadžbi:

y = 2 x - 1 y = 2 x + 1

Oduzmite drugu od prve jednadžbe

y - y = 2 x - 1 - (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

U prvoj jednadžbi dobili smo kontradikciju (0 ≠ -2), što znači da sustav nema rješenja - ne postoje točke sjecišta linija (linije su paralelne).

Odgovor. Linije se ne presijecaju (linije su paralelne).

rješenje: Koordinate točke N zamjenjujemo u jednadžbi linija.

Odgovor. Budući da su se obje jednadžbe pretvorile u identitete, točka N je sjecište ovih linija.

Točka sjecišta dviju linija u prostoru

Ako sustav jednadžbi:

  • ima jedinstveno rješenje, a zatim se linije presijecaju,
  • ima beskonačan broj rješenja, a linije se podudaraju,
  • nema rješenja, linije se ne sijeku (linije su paralelne ili se međusobno križaju)

rješenje: Sastavimo sustav jednadžbi

x - 1 = ay - 1 = az - 1 = sjekira - 3 -2 = b 2 - y = bz = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x - 3 -2 = b 2 - y = bz = b =>

Vrijednosti x, y, z iz 1, 2, 3 jednadžbe zamjenjujemo u 4, 5, 6 jednadžbi

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 - 3 -2 = b 2 - (a + 1) = ba + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = ba + 1 = b

Petoj jednadžbi dodajte petu jednadžbu

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = ba + 1 + (1 - a) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = bb = 1

Vrijednost b zamjenjujemo četvrtom i petom jednadžbom

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = 1 1 - a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Odgovor. Linije se presijecaju u točki s koordinatama (1, 1, 1).

rješenje: Sastavljamo sustav jednadžbi zamjenom parametra t s a u drugoj jednadžbi

x = 2 t - 3 y = t z = - t + 2 x = a + 1 y = 3 a - 2 z = 3

Vrijednosti x, y, z iz 1, 2, 3 jednadžbe zamjenjujemo u 4, 5, 6 jednadžbi

x = 2 t - 3 y = tz = - t + 2 2 t - 3 = a + 1 t = 3 a - 2 - t + 2 = 3 => x = 2 t - 3 y = tz = - t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a - 2 t = -1 =>

Vrijednost t iz šeste jednadžbe zamjenjujemo preostalim jednadžbama

x = 2 · (-1) - 3 y = (-1) z = - (- 1) + 2 2 · (-1) = a + 4 -1 = 3 a - 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

Odgovor. Budući da je -6 ≠ 1 3, linije se ne presijecaju.

Točka preseka linija u prostoru - teorija, primjeri i rješenja

  • sadržaj
  • 1. Točka sjecišta linija dana u kanonskom obliku.
  • 2. Točka sjecišta linija definirana u parametričnom obliku.
  • 3. Točka preseka linija pruženih u različitim oblicima.
  • 4. Primjeri pronalaska točke sjecišta linija u prostoru.

1. Točka sjecišta linija u prostoru definirana u kanonskom obliku.

Neka je kartezijanski pravokutni koordinatni sustav Oxyz i neka su date koordinate u ovom koordinatnom sustavu L1 i L2:

,(1)
,(2)

Pronađite točku preseka linija L1 i L2 (Sl. 1).

Jednadžbu (1) pišemo u obliku sustava dviju linearnih jednadžbi:

,(3)
(4)

Pomnožimo u jednadžbama (3) i (4):

p1(xx1)=m1(yy1)
l1(yy1)=p1(zz1)

Otvorite zagrade i prenesite varijable na lijevu stranu jednadžbe, a preostale elemente na desnu stranu:

p1xm1y=p1x1m1y1,(5)
l1yp1z=l1y1p1z1.(6)

Slično tome, pretvaramo jednadžbu (2):

Jednadžbu (2) pišemo u obliku sustava dviju linearnih jednadžbi:

,(7)
(8)

Pomnožimo u jednadžbama (7) i (8):

p2(xx2)=m2(yy2)
l2(yy2)=p2(zz2)

Otvorite zagrade i prenesite varijable na lijevu stranu jednadžbe, a preostale elemente na desnu stranu:

p2xm2y=p2x2m2y2,(9)
l2yp2z=l2y2p2z2.(10)

Rješavamo sustav linearnih jednadžbi (5), (6), (9), (10) s tri nepoznanice x, y, z, Da biste to učinili, zamislite ovaj sustav u obliku matrice:

(11)

Kako riješiti sustav linearnih jednadžbi (11) (ili (5), (6), (9), (10), pogledajte internetsku stranicu Gaussove metode. Ako je sustav linearnih jednadžbi (11) nespojiv, tada su pravci L1 i L2 ne presijecajte. Ako sustav (11) ima mnogo rješenja, tada su linije L1 i L2 uskladiti. Jedino rješenje sustava linearnih jednadžbi (11) ukazuje da ovo rješenje određuje koordinate točke sjecišta linija L1 i L2 .

2. Točka sjecišta ravnih linija u prostoru definirane u parametrijskom obliku.

Neka je kartezijanski pravokutni koordinatni sustav Oxyz i neka su date koordinate u ovom koordinatnom sustavu L1 i L2 u parametrijskom obliku:

(12)
(13)

Problem pronalaska točke sjecišta linija L1 i L2 mogu se riješiti različitim metodama.

Metoda 1. Dajemo jednadžbe linija L1 i L2 do kanonskog oblika.

Da bismo jednadžbu (12) doveli u kanonski oblik, izrazimo parametar t kroz ostale varijable:

(14)

Budući da su lijeve strane jednadžbe (14) jednake, možemo napisati:

(15)

Slično tome, dajemo jednadžbu pravca L2 u kanonski oblik:

(16)

Zatim, kako biste pronašli mjesto sjecišta linija danog u kanonskom obliku, upotrijebite stav 1.

Metoda 2. Pronalaženje točke sjecišta linija L1 i L2 zajednički riješiti jednadžbe (12) i (13). Iz jednadžbi (12) i (13) slijedi:

(17)
(18)
(19)

Iz svake jednadžbe (17), (18), (19) nalazimo varijablu t, Nadalje od dobivenih vrijednosti t biramo one koji zadovoljavaju sve jednadžbe (17) - (19). Ako je takva vrijednost t ne postoji, onda se linije ne presijecaju. Ako postoji više od jedne takve vrijednosti, linije se podudaraju. Ako je takva vrijednost t jedino što zamjenjuje tu koncepciju t u (12) ili u (13), dobivamo koordinate točke sjecišta linija (12) i (13).

4. Primjeri pronalaska točke sjecišta linija u prostoru.

Primjer 1. Pronađite točku preseka linija L1 i L2:

(20)
(21)

Jednadžbu (20) predstavljamo u obliku dvije jednadžbe:

(22)
(23)

Pomnožit ćemo množenje u jednadžbama (22) i (23):

Otvorite zagrade i prenesite varijable na lijevu stranu jednadžbe, a preostale elemente na desnu stranu:

Isto ćemo učiniti s jednadžbom (2).

Jednadžbu (2) predstavljamo u obliku dvije jednadžbe:

(26)
(27)

Pomnoženo umnožavanje u jednadžbama (7) i (8)

Otvorite zagrade i prenesite varijable na lijevu stranu jednadžbe, a preostale elemente na desnu stranu:

Rješavamo sustav linearnih jednadžbi (24), (25), (28), (29) s tri nepoznanice x, y, z, Da bismo to učinili, ovaj sustav predstavljamo u obliku matrične jednadžbe:

(30)

Rješavamo sustav linearnih jednadžbi (30) s obzirom na x, y, z, Da bismo riješili sustav, konstruiramo proširenu matricu:

Označiti sa ij elementi jath red i jst. stupac.

Prva faza. Izravni tijek Gaussa.

Isključite elemente 1. stupca matrice ispod elementa 1 1, Da biste to učinili, dodajte redak 3 s retkom 1 puta −1:

Isključite elemente 2. stupca matrice ispod elementa 22, Da biste to učinili, dodajte redak 4 u redak 2 puta −1/4:

Radimo permutaciju linija 3 i 4.

Druga faza. Gaussov povratak.

Isključite elemente 3. stupca matrice iznad elementa 33, Da biste to učinili, dodajte redak 2 u redak 3 puta −4/3:

Isključite elemente 2. stupca matrice iznad elementa 22, Da biste to učinili, dodajte liniju 1 u red 2 puta 3/4:

Podijelite svaki red matrice na odgovarajući vodeći element (ako postojeći vodeći element):

Odgovor. Točka preseka crte L1 i L2 ima sljedeće koordinate:

Primjer 2. Pronađite točku preseka linija L1 i L2:

(31)
(32)

Dajemo parametrijsku jednadžbu pravca L1 do kanonskog oblika. Parametar t izražavamo pomoću preostalih varijabli:

Iz gornjih jednakosti dobivamo kanonsku jednadžbu pravca:

(33)

Jednadžbu (33) predstavljamo u obliku dvije jednadžbe:

(34)
(35)

Vršimo umnožavanje u jednadžbama (34 i (35):

Otvorite zagrade i prenesite varijable na lijevu stranu jednadžbe, a preostale elemente na desnu stranu:

(36)
.(37)

Isto ćemo učiniti s jednadžbom (2).

Jednadžbu (2) predstavljamo u obliku dvije jednadžbe:

(38)
(39)

Pomnoženo umnožavanje u jednadžbama (38) i (39)

Otvorite zagrade i prenesite varijable na lijevu stranu jednadžbe, a preostale elemente na desnu stranu:

Rješavamo sustav linearnih jednadžbi (36), (37), (40), (41) s tri nepoznanice x, y, z, Da bismo to učinili, ovaj sustav predstavljamo u obliku matrične jednadžbe:

(42)

Rješavamo sustav linearnih jednadžbi (42) s obzirom na x, y, z, Da bismo riješili sustav, konstruiramo proširenu matricu:

Označiti sa ij elementi jath red i jst. stupac.

Prva faza. Izravni tijek Gaussa.

Isključite elemente 1. stupca matrice ispod elementa 1 1, Da biste to učinili, dodajte redak 3 u red 1 puta −1/6:

Isključite elemente 2. stupca matrice ispod elementa 22, Da biste to učinili, dodajte retke 3 i 4 s retkom 2 puta 8/21 i −1/7, respektivno:

Isključite elemente 3. stupca matrice ispod elementa33, Da biste to učinili, dodajte redak 4 u redak 3 puta -1/16:

Iz proširene matrice rekonstruiramo posljednji sustav linearnih jednadžbi:

(43)

Jednadžba (43) je nespojiva jer brojevi ne postoje x, y, z zadovoljavajuća jednadžba (43). Stoga sustav linearnih jednadžbi (42) nema rješenje. Zatim ravno L1 i L2 ne presijecajte. Odnosno, ili su paralelni ili prekriženi.

ravno L1 ima vektor smjera q1= <2,6,7>, i linija L2 ima vektor smjera q2= <3,1,1>. Ti vektori nisu kolinearni. Stoga izravno L1 i L2 križati.

Pogledajte video: Uticajne linije - uvod (Rujan 2020).

Pin
Send
Share
Send
Send